1700년대에 d'Alembert에 의해 1차원 파동방정식의 일반해가 발견되었다. 그 과정을 하나씩 따라가보자. 기본적으로 1차원 파동방정식이라함은 위와 같은 편미분방정식에 두 개의 초기조건(I.C., initial condition)을 더한 꼴을 의미한다.(이를 Cauchy problem이라고 한다)우리는 달람버트의 방법대로, method of characteristics를 사용할 것이다.먼저 변수를 치환하자. x, t로 정리하면 각각 x, t로 편미분하면 연립해서 풀면 ...(1) 여기서 chain rule에 의해 다음의 사실을 알 수 있으므로 (1)을 이용해 파샬뮤와 파샬에타로 정리하면 에서 가 된다. 따라서 이 된다.(이므로) 따라서 가 될 수 밖에 없고( , 는 적당히 좋은 함수) 치환했던 변수..

울프럼알파는 온갖 계산에 지친 수학도, 공학도들에게 비치는 한줄기의 빛이라 해도 과언이 아니다.기본적인 사칙연산부터 지수, 로그, 그리고 공학용 계산기로 할 수 있는 모든 계산에 더해서 미적분, 라플라스 변환(과 역변환), 푸리에 변환(과 역변환) 등 못하는 게 거의 없다고 봐도 된다. 그럼 하나하나 어떻게 하면 되는지 알아보자. 1. 사칙연산 사칙연산은 기본적으로 +,-,*,/를 이용한다. 주의할 점은 *,/가 먼저 계산되고, 분모에 계산식이 있을 경우 괄호로 묶어줘야 한다는 것이다.ex) 1+2*3/(4+5) = 1+2*3/9 = 1+6/9 = 15/9 = 5/3 = 1.666666666.....울프럼알파를 통한 사칙연산이 기본적인 계산기보다 좋은 점은 분수계산이 가능하다는 점이다.일반 계산기로 분수..

리만 가설은 1859년 리만(Riemann)이 리만 제타 함수의 자명하지 않은 근(nontrivial zeros)들의 실수부가 1/2일 것이라고 추측한 곳에서부터 출발했다. 우선 리만 제타 함수(Riemann zrta function)가 무엇인지 살펴보자. 위와 같이 정의된 함수를 리만 제타 함수라 한다. 이 무한급수는 s가 1보다 클때에만 수렴해 정의가 되기 때문에, 언뜻 생각해선 이 급수가 0이 되는 s, 즉 리만 제타 함수의 근을 생각하기 어렵다. 하지만 리만은 이 제타 함수를 복소평면으로 확장시켜 s=1을 제외한 모든 복소평면에서 잘 정의되도록 만들었다. 저 급수는 s가 1보다 클 때의 제타 함수의 모습이라고 이해하면 쉽다. s가 1보다 작은 부분에 대해 제타 함수는 함수방정식으로 정의가된다. 실..

소수는 모든 숫자의 원소이고 아직까지 규칙이 발견되지 않았음에도 다른 많은 특별한 성질들이 발견된 신비로운 주제이다. 그런 소수에 대해, 나열하기는 쉽지만 증명하기는 어려운(easy to formulate but rather difficult to solve, Steuding의 렉쳐노에서) 몇 가지 명제들을 살펴보자. 1. 보다 작은 소수의 개수를 라 할 때, 의 정확한 식이 존재하는가? 그리고, n번째 소수를 explicit하게 표현하는 식이 존재하는가? 소수의 규칙을 밝히려는 시도는 고대 그리스인들에 의해 소수가 발견된 뒤로 거의 2천년을 넘게 이어져왔다고 해도 과언이 아니다. 하다못해, 예를 들어 100보다 작은 소수가 몇 개 있는지, 더 일반적으로 보다 작은 소수가 몇 개 있는지에 대한 문제도 하..

공리(axiom)란 우리가 당연히 받아들이지만 증명이 불가능한 명제를 말한다.그 예로 1) 1은 자연수 집합에 속한다2) n이 자연수 집합에 속하면 n의 다음 수 n'도 자연수 집합에 속한다 등 자연수에 대한 당연한 직관을 들 수 있다.혹은 1) 모든 직각은 같다2) 평행한 직선은 만나지 않는다 등의 기하학적 공리들도 생각할 수 있다.이런 당연해보이는 사실들은 놀랍게도 증명이 불가능한데, 비교하자면 물체를 이루는 가장 작은 물질이 절대 더 이상 쪼개질 수 없는 것과 비슷하다고 할 수 있겠다. 모든 복잡한 수학적 이론들은 이런 기본적인 공리에서 출발한다.만약 수학에 관심이 있거나 수학과에 들어갔다면 해석학에서 낯선 공리를 하나 더 배우게 된다. 완전성 공리(completeness axiom)가 그것인데, ..

수학 관련 첫 포스팅은 무조건 소수로 하자고 마음을 먹었기 때문에 가장 간단하면서도 흥미로운 문제를 선택했다.명제 자체는 초등학생도 이해할 수 있을만큼 단순하다(사실 증명도 그렇다). Theorem.There are infinitely many primes. 이 단순한 명제의 증명은 사실 기원전 300년에 벌써 유클리드가 해냈다. 수학자들이 고대 그리스의 수학자들의 업적을 보고 있으면 그저 옛 수학자가 아니라 마치 현재 같이 일하는 동료처럼 느껴진다는 말이 있다. 그만큼 고대 그리스의 수학적 발전은 눈부셨다. 유클리드의 간단한 증명을 보자.Proof.Suppose that p1=2