리만 가설은 1859년 리만(Riemann)이 리만 제타 함수의 자명하지 않은 근(nontrivial zeros)들의 실수부가 1/2일 것이라고 추측한 곳에서부터 출발했다. 우선 리만 제타 함수(Riemann zrta function)가 무엇인지 살펴보자. 위와 같이 정의된 함수를 리만 제타 함수라 한다. 이 무한급수는 s가 1보다 클때에만 수렴해 정의가 되기 때문에, 언뜻 생각해선 이 급수가 0이 되는 s, 즉 리만 제타 함수의 근을 생각하기 어렵다. 하지만 리만은 이 제타 함수를 복소평면으로 확장시켜 s=1을 제외한 모든 복소평면에서 잘 정의되도록 만들었다. 저 급수는 s가 1보다 클 때의 제타 함수의 모습이라고 이해하면 쉽다. s가 1보다 작은 부분에 대해 제타 함수는 함수방정식으로 정의가된다. 실..

소수는 모든 숫자의 원소이고 아직까지 규칙이 발견되지 않았음에도 다른 많은 특별한 성질들이 발견된 신비로운 주제이다. 그런 소수에 대해, 나열하기는 쉽지만 증명하기는 어려운(easy to formulate but rather difficult to solve, Steuding의 렉쳐노에서) 몇 가지 명제들을 살펴보자. 1. 보다 작은 소수의 개수를 라 할 때, 의 정확한 식이 존재하는가? 그리고, n번째 소수를 explicit하게 표현하는 식이 존재하는가? 소수의 규칙을 밝히려는 시도는 고대 그리스인들에 의해 소수가 발견된 뒤로 거의 2천년을 넘게 이어져왔다고 해도 과언이 아니다. 하다못해, 예를 들어 100보다 작은 소수가 몇 개 있는지, 더 일반적으로 보다 작은 소수가 몇 개 있는지에 대한 문제도 하..

수학 관련 첫 포스팅은 무조건 소수로 하자고 마음을 먹었기 때문에 가장 간단하면서도 흥미로운 문제를 선택했다.명제 자체는 초등학생도 이해할 수 있을만큼 단순하다(사실 증명도 그렇다). Theorem.There are infinitely many primes. 이 단순한 명제의 증명은 사실 기원전 300년에 벌써 유클리드가 해냈다. 수학자들이 고대 그리스의 수학자들의 업적을 보고 있으면 그저 옛 수학자가 아니라 마치 현재 같이 일하는 동료처럼 느껴진다는 말이 있다. 그만큼 고대 그리스의 수학적 발전은 눈부셨다. 유클리드의 간단한 증명을 보자.Proof.Suppose that p1=2