소수에 관련된 증명되지 않은 주제들

소수는 모든 숫자의 원소이고 아직까지 규칙이 발견되지 않았음에도 다른 많은 특별한 성질들이 발견된 신비로운 주제이다. 그런 소수에 대해, 나열하기는 쉽지만 증명하기는 어려운(easy to formulate but rather difficult to solve, Steuding의 렉쳐노에서) 몇 가지 명제들을 살펴보자.

1. 보다 작은 소수의 개수를 라 할 때, 의 정확한 식이 존재하는가? 그리고, n번째 소수를 explicit하게 표현하는 식이 존재하는가?

소수의 규칙을 밝히려는 시도는 고대 그리스인들에 의해 소수가 발견된 뒤로 거의 2천년을 넘게 이어져왔다고 해도 과언이 아니다. 하다못해, 예를 들어 100보다 작은 소수가 몇 개 있는지, 더 일반적으로 보다 작은 소수가 몇 개 있는지에 대한 문제도 하나하나 세보지 않고는 오직 근사적으로밖에 알 수가 없다. 소수의 수열은 누구나 생각할 수 있지만 n번째 소수가 무엇인지 역시 하나씩 세보는 수밖에 별다른 수가 없다. 

2. 1보다 큰 양수 가 주어졌을 때, 차이가 보다 작은 연속한 소수가 무한히 많이 존재하는가?

일 경우 이 문제는 쌍둥이 소수가 무한히 많이 존재하는지를 묻는 문제가 된다. 쌍둥이 소수란 3과 5, 5와 7, 11과 13처럼 연속해있으면서 그 차이가 2인 소수를 말한다. 현재까지 알려진 가장 큰 쌍둥이 소수는 2003663613 · 2¹⁹⁵⁰⁰⁰ ± 1로 58711자리의 숫자라고 한다. 하지만 아무도 이것이 '마지막' 쌍둥이 소수인지 알지 못한다.

3. 2보다 큰 모든 짝수를 두 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있는가?

유명한 Goldbach의 추측으로, 1930년에 '거의 모든' 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 것이 증명되었고 그 후로도 최근까지 괄목할만한 성과들이 나오고 있다. 그리고 2013년 Harald Helfgott에 의해 약한 Goldbach의 추측(5보다 큰 모든 홀수는 세 소수의 합으로 나타낼 수 있다)이 풀림으로써 강한 Goldbach의 추측의 증명에 더욱 가까워졌다.

4. 두 제곱수의 사이에 항상 소수가 존재하는가?

예를 들면 1과 4 사이에 소수 2,3이 존재하고, 4와 9 사이에 5,7이 존재하고, 하는 식으로 항상 존재하겠는가를 묻는 질문이다. 작은 수일 때는 소수가 비교적 촘촘히 있어서 그럴듯하지만 수가 커질수록 소수는 급격히 희박해진다. (그럼에도 불구하고 쌍둥이 소수처럼 간혹 붙어있는 녀석들이 등장한다는 게 소수의 신비로운 점이기도 하다) 그에 비해 제곱수는 기껏해야 order 2의 다항식의 속도로 증가하고, 소수가 희박해지는 속도에 비교해 봤을 때 두 제곱수의 사이라는 건 생각보다 굉장히 촘촘한 그물이다. 

어느 하나라도 증명한다면 수학계의 노벨상이라 불리는 필즈상을 수상할 만한 주제들이고, 이 명제들을 증명하기 위해 발전한 여러 수학적 이론과 도구들이 응용되어 결국 직접적으로 인간 생활을 개선하고 있다고 생각하면 수학의 아름다움과 인간이 노력해서 도달할 수 있는 구조의 복잡함에 놀라게 되는 것 같다.