울프럼알파(wolfram alpha)로 사칙연산, 미적분, 라플라스 변환, 푸리에 변환 계산

울프럼알파는 온갖 계산에 지친 수학도, 공학도들에게 비치는 한줄기의 빛이라 해도 과언이 아니다.

기본적인 사칙연산부터 지수, 로그, 그리고 공학용 계산기로 할 수 있는 모든 계산에 더해서 미적분, 라플라스 변환(과 역변환), 푸리에 변환(과 역변환) 등 못하는 게 거의 없다고 봐도 된다. 

그럼 하나하나 어떻게 하면 되는지 알아보자.

1. 사칙연산

사칙연산은 기본적으로 +,-,*,/를 이용한다. 주의할 점은 *,/가 먼저 계산되고, 분모에 계산식이 있을 경우 괄호로 묶어줘야 한다는 것이다.

ex) 1+2*3/(4+5) = 1+2*3/9 = 1+6/9 = 15/9 = 5/3 = 1.666666666.....

울프럼알파를 통한 사칙연산이 기본적인 계산기보다 좋은 점은 분수계산이 가능하다는 점이다.

일반 계산기로 분수를 포함한 계산을 하면 1.6666처럼 소숫점을 포함한 근사치로 변환이 되고 분수식을 얻으려면 공학용 계산기로 특수한 설정을 해야하는데

울프럼알파는 둘 다 제공한다. 사실, 훨씬 많은 정보를 제공한다.

위 사진은 앞서 사용한 예시를 울프럼알파에 넣고 돌린 것이다.

Input 항목엔 우리에게 익숙한 형태로 입력한 수식을 보여줘서 우리가 입력한 수식이 정말 우리가 생각한 식이 맞는지 확인시켜주고,

exact result(정확한 결과)에 분수식을,

decimal approximation(소수 근사치)에 1.6666...을,

repeating decimal(순환소수)에 순환소수 형태와 period(순환주기)를,

mixed fraction(대분수)에 대분수 형태를,

number line(수직선)에 값의 수직선상 위치를,

continued fraction(연분수)에 연분수 수열 형태를(를 의미한다),

egyptian fraction expansion(이집트식 분수 전개)에 전개식을 각각 준다.

2. 지수, 로그

지수의 경우 ^기호를 사용한다. 예를 들어, 2^3은 를 의미하고, e^(1+x^2)은 을 의미한다. 조금 헷갈린다 싶으면 각각 죄다 괄호로 묶으면 보통 원하는 결과가 나온다.

로그의 경우는 단순히 log(x)꼴을 기본으로 사용한다. 여기서 밑이 2라면 log2(x) 이런 식으로 쓰면 된다. 물론 자연로그 ln도 인식한다. ln6이라고 입력한 경우 

이렇게 뜨는데(밑에 다른 정보들이 더 있다), 인풋에 log(6)이라고 되어있는 곳의 오른쪽 아래를 보면 log(x) is the natural logarithm이라고 쓰여있는 게 보인다. log(6)이 자연로그 ln을 의미한다는 소리다. 따라서 울프럼알파가 자연로그를 상용로그로 잘못 이해했나 걱정할 필요는 없다(외국에선 자연로그를 주로 log로 쓴다). 또 여기서 ln(6)이라고 입력하지 않았는데, 울프럼알파는 굉장히 관대해서 웬만하면, 정말 웬만하면 전부 이해한다.

3. 미적분

이제 미적분을 어떻게 하는지 알아보자. 

우선 미분은, 보통 우리가 하는 대로 dy/dx꼴로 쓴다. 예시를 보는 게 이해가 빠를 것이다.

derivative(도함수)부분에 보면 미분이 된 결과를 볼 수 있다. 그에 그치지 않고 plots(그래프)항목에서 그래프도 볼 수 있고 geometric figure에서 도함수의 기하적 생김새도 알 수 있다. root(근)항목에선 도함수=0으로 놓고 풀었을 때 근이 무엇인지까지 알려준다. 예시에선 아주 간단한 다항식을 이용했지만 만약 미분식이 아주 복잡하다면 이런 정보는 굉장히 계산 시간을 단축시킬 것이다.

다음은 적분 방법이다. 적분 역시 거의 웬만해선 전부 인식을 하는데, 내가 즐겨쓰는 방법은 아래와 같다.

우선 처음에 integral이라고 씀으로써 이게 인테그랄, 즉 적분임을 알려준다. 적분기호 대신 썼다고 생각해도 상관 없다. 그 다음 1 to infinity는 적분 구간을 알려준다. from 1 to infinity로 해도 상관 없다. 방금 확인한 결과 infinity를 줄여서 infty로 해도 인식한다(integral을 int로 줄여도 된다). 여기서 중요한 건 적분구간 뒤에 반드시 쉼표(,)를 찍어줘야 하는데, 안해줘도 인식하는 경우가 있지만 가끔 적분할 함수와 섞여서 적분이 제대로 되지 않는 경우가 생긴다. 그 다음 적분할 함수를 쓰고 마지막으로 dx로 적분할 변수를 밝혀준다.

그 다음 결과를 보고 자신이 의미한 식이 제대로 나왔는지 확인하면 된다. definite integral(정적분)의 좌변을 확인하면 내가 의미한 적분과 같은 식이 나타난 걸 알 수 있고 우변에 그 값이 계산되어 나온다. 그 아래는 부정적분꼴을 알려주고 있다.

4. 라플라스 변환과 역변환, 푸리에 변환과 역변환

공대생이라면 이 두 변환을 표를 보고 거의 외워버리거나 일일이 계산하면서 머리가 빠지는 경험을 했을 것이다. 하지만 울프럼알파를 이용하면 허탈할 정도로 쉽게 계산을 할 수 있다.

우선 라플라스 변환을 보자.

input interpretation을 보면 내가 입력한 꼴이 라플라스 변환이라는 걸 확인할 수 있다. 그 밑의 result에 sin함수의 변환값이 나온다.

주의할 점은 반드시 Laplace라고 입력해야 한다는 점이다. 만약 소문자로 laplace라고 입력하면 laplacian이라는 전혀 다른 오퍼레이터가 등장한다.

다음은 라플라스 역변환을 보자.

아주 간단하다. 여기서 웬만하면 라플라스 변환의 변수는 t로, 역변환의 변수는 s로 해주는 게 좋다. 안해도 되지만, 일반적인 관례를 따를 때 울프럼알파가 더 잘 이해하는 경우도 있다.

푸리에 변환과 역변환도 마찬가지로 간단하다.

저기서 델타 함수는 디락 델타 함수를 의미한다.

이상으로 울프럼알파로 할 수 있는 기본적인 계산들을 알아봤다.

보통 계산으로 할 수 있는 모든건 다 된다고 봐도 무방하다.

심지어 미분방정식도 풀어준다.

하지만 과제를 할 때 도저히 안되는 몇개만 적당히 이용하는 게 본인의 실력 향상에 도움이 될 것이다.